函数的正定与负定：
V为李雅普诺夫函数，对于非线性系统[dotX]=f([X])而言，dotV的求解公式如下：

以一个单摆系统为例，其状态方程如下：

那么怎么确定V呢？技巧是从能量角度入手：

如果给系统加上摩擦，那么状态空间方程将变为：

可以看到从物理上看，无摩擦的系统是非渐进稳定的，而有摩擦的系统是渐进稳定的
但是从数学角度上看，我们只证明了两个系统均是稳定的，但对是否渐进稳定无法判定
于是我们引入不变性原理来判断系统的渐进稳定性：
一个系统是渐进稳定的，意味着其存在一个V，满足：
V为正定，范围内dotV为半负定，dotV仅在[X]=0时值为0

确切地说，第三个条件是指dotV沿任意不过零点的轨迹移动值都不为0

于是我们分析有摩擦的系统，可以发现其前两条条件满足，对于第三个条件：
当dotV=0时仅有x2=0，因而能使dotV=0仅在x2=0这条轨迹上可能成立，故对于所有的时间t来说，dotx2都等于0，故可以求得此时仅可能x1=x2=0，因而条件三也成立，系统渐进稳定

同理对于无摩擦系统而言，条件三并不满足，故系统不是渐进稳定的。

非线性系统稳定性设计：
目的是设计输入u=f(x)使新的闭环系统相比原开环系统而言具有更好的稳定性

常见的方法有两种，一种是设计输入直接消除状态方程的非线性部分并使其线性稳定
例如下面这个例子，可以看到u=f(x)提供了两方面的支持，前半部分消除了状态方程的非线性部分，后半部分为系统提供了稳定的特征值（极点），这种方法非常简单粗暴，但有时候并不那么容易实现，结果也并非最优

另一种方法是使用李雅普诺夫直接法，根据系统状态方程和李雅普诺夫函数，设计输入u=f(x)使dotV负定即可，如下面这个例子所示：

可以看到设计非线性系统稳定性有很多种方法，但设计出的函数效果却有差别。

反馈线性化控制：（反步设计法）
目的是利用u使x趋近x1d，以下面这个状态空间方程为例：

由于这个系统中x2直接控制x1，而u直接控制x2，故控制链应为u->x2->x1，这被称之为链式控制，为了控制u使x1趋近x1d，我们应该分两步：首先找到一个x2d控制x1使x1趋近x1d，再设计一个u控制x2使x2趋近x2d。
那么首先来看第一步，找到一个x2d控制x1使x1趋近x1d：
为了表现x1趋近x1d的过程，引入新状态e=x1d-x1->0，亦即李雅普诺夫函数V1(e)满足稳定性判据即可，故我们设计V(e)=0.5e^2，为了使dotV(e)=edote负定，可以设计dote=-k1e来实现，由我们找到了设计x2d的函数。
接下来看第一步，设计一个u控制x2使x2趋近x2d：

为了表现x2趋近x2d的过程，引入新状态δ=x2d-x2->0，现在我们的目标就是使δ,e->0，所以我们要设计新的李雅普诺夫函数V2(e,δ)满足稳定性判据，故我们设计V2(e,δ)=0.5e^2+0.5δ^2，
为了使dotV(e,δ)=edote+δdotδ负定，可以设计e+dotδ=-k2*δ来实现，由此我们找到了设计u的函数：

式中e=x1d-x1,δ=x2d-x2，其中x1d为给定的，而x1和x2是可观的，x2d是由和x1d求得的，故u就是确定的。也就是说我们只需要得到x1d，x1和x2就可以得到一个输入u使x趋近x1d，这也就是反馈线性化控制的目标。

非线性自适应控制器：
之前的反步设计法中有一个前提，那就是系统的参数矩阵a我们是知道的，但很多情况下这个值可能多变或不可知，这时候就要找到一个自适应的控制器去实现。
以下面这个轨迹追踪系统使x->xd为例：

如果a已知，那么用之前的理论可以容易设计出输入u=dotxd-ax^2+ke
但如果现在a不可知怎么办呢？虽然a不可知，但我们可以认为a为一常数，即dot{a}=0
我们设计一个估计值hat{a}，估计值与真实值的估计误差为tilde{a}=a-hat{a}
则dot{tilde{a}}=dot{a}-dot{hat{a}}=-dot{hat{a}}
于是我们定义李雅普诺夫函数V(e,tilde{a})=0.5e^2+0.5tilde{a}^2
而此时的输入u应设计为与估计值hat{a}相关，即u=dot{xd}-hat{a}x^2+ke

为了使dotV(e)负定，应设计dot{tilde{a}}=-ex^2，故输入u即为：

非线性鲁棒控制器：
鲁棒控制器的目标相比自适应控制器来说更加苛刻，此时a不仅是不可知的，而且是在有界下变动的。这个时候的u应该怎么设计呢？我们介绍三种非线性鲁棒控制器，分别是滑膜控制，High Gain和High Frequency。
假设此时的系统为dot{x}=f(x)=u，目标是设置u使x->xd，有界判定是|f(x)|<ρ(x)（ρ自设）

非线性鲁棒控制器指出可以把输入设成如下形式，其中Uaux的设置取决于不同的控制方法：

①滑膜控制：设置输入u如下：

证明将u设置成这种形式可以使偏差e稳定：

可以看到随着t->∞，不等式右边逐渐趋向于0，故e也一定在t->∞时趋向于0，这是一种指数的渐进稳定。这么设置的缺点在于sgn(e)会在1和-1间突变，导致输入u也会突变，这可能是对执行器的一种挑战。
②High Gain：设置输入u如下：

证明将u设置成这种形式可以使偏差e稳定：

可以看到当ρ|e|>epsilon时dotV(e)负定，e会趋于0

可以看到当ρ|e|<=epsilon时随着t->∞，e虽然不会趋于0，但也会趋于一个有限的小值。这个小值受epsilon影响，可以看到设置的输入u越大（即epsilon越小），系统最终的偏差也会越小，可以明白High Gain即是用足够大的输入去抵消系统的不确定性。
③High Frequency：设置输入u如下：

可以看到当epsilon=0时其即为滑膜控制，而当epsilon!=0时其值小于1，因而整体更加平和。
证明将u设置成这种形式可以使偏差e稳定：

可以看到与High Gain一样，High Frequency也会使系统最终趋向于一个同样的有限小值。同样的，设置的输入u越大（即epsilon越小），系统最终的偏差也会越小。
④对比讨论：
总结一下，三种非线性鲁棒控制器各有优劣，epsilon的选值也体现了系统是更重视输入还是收敛，定性的排名如下所示，其中5表示最强1表示最弱。