假设系统的模型为x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)（离散形式状态空间方程）
即下一时刻的状态量由本时刻的状态量和输入量决定

其中u(k+i|k)表示在k时刻预测k+i时刻的输入
为做简化，设误差E即为状态x：

此时的J是关于x和u的二元函数，为了得到二次规划的标准形式，我们至少需要消去变量x或u之一，由于控制器由输入u决定，故我们决定消去变量x。
其中Q为误差加权矩阵，R为输入加权矩阵，F为终端误差加权矩阵。

由于x(k|k)即为k时刻下预测k时刻的状态，也就是当前状态作为的初始条件，这是一个已知量。那么根据模型函数就可以进行以下递推：

写作矩阵形式即：

注意这里右边黑色的xk是k时刻的初始状态向量，而左边绿色的Xk量矩阵则是k时刻下预测的N区间内的状态变量值矩阵。
回到J，我们将误差加权和展开结合终端误差得到以下矩阵形式：

同理我们也将输入加权和展开，则J可以写作：

其中bar{R}为R的一个对角阵。
我们看到第二项和第三项，由于J为一个数（1*1矩阵），由矩阵相加原则，第二项和第三项也必然为一个数，而一个数的转置即为它本身，故事实上第二项与第三项相等。

勘误：这里的结果应该是2倍的第二项或第三项，即：

同时，我们把第四项和第五项合并得到合成参数矩阵H，最终J的格式即为红框内的式子。
对比二次规划型可以看出，此时的J就是一个标准的二次规划型。
我们利用MATLAB的Quadprog()函数来求这个二次规划的最优解minJ对应的uk的值。

由于J的第一项为无关常量项，因而二次规划只需针对后两项，故事实上要得到最优的uk可以不求取矩阵G的值

为了更加明晰矩阵的运算，我们用公式编辑器结合一个例子再重复一遍以上操作：
假设输入量个数为p，状态量个数为n，预测区间为N

这里要注意的是，x(k|k)和u(k|k)也是一个矩阵，规模分别为n1和p1
在我们给出的例子中，p=2，n=1，N=3故有：

X[k]/U[k]是当前时间步k下对未来位于预测区间N内各状态量/输入量的预测
其中对X[k]的预测始终比U[k]多一步（一般地，可以多任意步）

矩阵M和C格式如下：

这里要注意的是，之前C矩阵中的0事实上也是一个零矩阵而非一个数
0

在我们给出的例子中：

对应J的形式即为：

其中G，E，H均为与M，C，Q，R，F相关的相，则整个J都能被求解。

在上述例子中，我们让误差E=x，而所有控制系统的控制目标均为误差等于0，故上述例子中的x的目标即为0。更一般的，我们希望x的目标为Xdesire（简写为Xd），则此时E=Xd-x。
那么把它推广到一般形式应该怎么做呢？其实很简单，我们只需要把控制的主体改为误差就可以了，即状态变量x本身就是误差E（之前的特例中是值相等，此时我们把其看做意义相等），原来的控制目标是让x=0，而我们只要将x换成E，用同样的控制逻辑控制E=0，那此时的x自然就是Xd了。

底盘MPC状态方程：