直流无刷电机的工作原理：
由于没有一般直流电机的换向刷，故控制直流无刷电机实质上就是对其硬件mos管开关规律的控制。假设Q0、Q1代表A相，Q2、Q3代表B相，Q4、Q5代表C相。以打开Q1，Q2为例，此时A线圈上S下N，B线圈左S右N，所以转子磁铁会转到图中的状态。以此类推，我们依序将AB->AC->BC->BA->CA->CB->AB……通电，则转子便可以以一定的速度循环转动起来。而要让mos管按照我们的要求开闭，就需要编写单片机程序来实现高速规律控制。这种程序就是FOC算法，FOC算法就是对电机的运动建立数学模型，把电机的运动抽象化，使单片机能够根据这个算法控制电机产生我们想要的力矩和速度。

我们知道，直流无刷电机由三相线接入三股相位相差120°的电流分别作用于ABC三相，用相量法将其写作向量形式即如下图所示，同时我们将三相电流利用矢量分解合成到α-β坐标系下：

写作矩阵形式即：

这个变换就是所谓的克拉克变换，利用克拉克变换，我们就可以把三相电流降维成两个向量
Iα和Iβ，由基尔霍夫电流定律和电机的对称性，如果我们假设电流从A相流入，我们可以得到两个方程：ia+ib+ic=0,ib=ic。故有ib=ic=-0.5ia，代入克拉克变换的第一个方程就有Iα=1.5ia。在实际应用时，为了简化运算，我们希望Iα能完全等于ia，故因此我们对克拉克变换额外乘以一个系数2/3，这样子Iα就等于ia了。反映在坐标变换下，就是除了进行矢量的分解合成外，还对合成到α-β坐标系下的矢量作了比例变换。此时的克拉克变换称为等幅值形式的克拉克变换。其格式如下图所示，即比普通的克拉克变换多了一个系数2/3。

借助基尔霍夫电流定律我们还可以知道，我们并非要得到ia，ib，ic三相电流而只需要知晓其中两相即可，已知在等幅值形式的克拉克变换下有Iα=ia。进一步我们可以求由两相电流表示的Iβ：

于是简化的等幅值形式克拉克变换即：

反过来，如果我们已知了ia，ib，ic三相电流，则我们也可以得到Iα和Iβ，这个过程被称为等幅值形式的克拉克逆变换：

写作矩阵形式即：

利用克拉克变换，我们成功实现了把三相电流降维成两个向量Iα和Iβ，但通过Iα和Iβ还不足以直观的反映电机旋转的物理状态，为此，我们进一步引入帕克变换。
容易得到，克拉克变换所建立的α-β坐标系是固定在定子上的，为了反映电机旋转的物理状态，我们于是在转子上也建立一个被称为Q-D（交轴-直轴）的坐标系，这个坐标系随转子旋转，定义D轴方向为沿转子N极中心线的方向。此时Q-D坐标系与α-β坐标系的角度差即为电机转动的电角度，它反映了电机的转动；而IQ和ID（交轴电流，直轴电流）即为两个定值（且通常ID=0），它们反映了电机给定的力矩。

借助坐标转换我们容易得到IQ、ID和Iα、Iβ的关系如下，这个关系就是帕克变换：

同理它的逆变换式就是：

帕克变换的精髓在于，他通过坐标转换得到了大小与方向分离的两组量，作为定值的IQ和ID仅反映了电机的力矩，而电机的旋转过程则完全由变量电角度θ体现，于是乎，我们想要控制电机的力矩，只需要为IQ和ID赋值即可，而电机旋转带来的矢量变化则通过电角度θ，借助帕克逆变换和克拉克逆变换自然地反映到了三相电流ia，ib，ic中，进而控制电机的运动，整个过程省去了复杂的矢量旋转与计算。
综上，整个FOC算法的过程就是：

而三相电流ia，ib，ic驱动电机转过一个角度后，在下一瞬间角度传感器便会更新θ的值，从而在新的时刻重复这一循环。
同理，我们也可以得到电压形式的帕克逆变换和克拉克逆变换，两者实质上没有区别：